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Energía
Problema 10. Cayendo
desde la cúpula
Se
inicia con un razonamiento dinámico. Al descender por la cúpula esférica
(Figura 1) el peso FP se descompone en dos fuerzas FT tangente a la superficie y FO normal a ella en la dirección del radio R
cuya suma vectorial es
esa fuerza FO se emplea (Figura 2), una parte FS presiona al cuerpo contra la superficie esférica, que responde con la fuerza normal FN por lo que FS=FN, y otra, FA, en cambiar la dirección de la velocidad, dando al cuerpo aceleración normal, FA=m*v2/R.
Luego: FO = FS +FA (3.10, 2)
A medida que el
carrito desciende (3.10, 1) FO disminuye, ya que aumenta el
ángulo α y baja el coseno. Por ello, de (3.10,0) resulta que FT aumenta, por lo que aumenta la aceleración tangencial y con ello la
velocidad. Llegará un momento en que toda la FO tenga que dedicarse a generar la
aceleración normal y FN valdrá cero. A partir de ahí,
como v crece y FA no, aumenta el radio de la
trayectoria y el carrito deja la superficie y va por el aire.
Tal cosa ocurre en el
momento (ver 3.10, 2) que se cumpla
FO =FS+FA =0+FA=FA
y recordando (3.10, 1) FP*(h)/R)=m*v2/ resulta v2=g*h
Pero por otra parte,
al descender el carrito gana energía cinética a costa de perder energía
potencial gravitatoria. En el punto más alto esta energía, dado que la altura
es el radio R, vale Epga=m*g*R y en cualquier altura h su
energía potencial valdrá Epgh=m*g*h y su energía cinética Ech=½*m*v2 por lo que debe cumplirse m*g*R=m*g*h+½*m*v2 por lo que m*g*(R-h)=½*m*v2
Al abandonar la
superficie se ha visto que v2=g*h por lo que sustituyendo v en el balance de energías sale m*g*(R-h)= ½*m*g*h) y asignando valores h=1,67 m
Para contestar a la segunda pregunta si
en la ecuación anterior la masa se elimina resulta que siempre se cumple
que:
h=(2/3)*R para cualquier valor
de R
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En todo momento