Problema 01. La energía del cérvido

La energía cinética se calculará por la relación E_c=½*m*v²

El problema aparece si se considera sistema de referencia el suelo terrestre o se analiza desde un punto del exterior de la Tierra en que se ve a esta girar. En el primer caso posee más el ciervo de Laponia ya que el de Kenia está parado y no tiene energía de esta clase. Pero las cosas cambian para el segundo sistema.

En él, el de Kenia lleva la velocidad de cualquier punto del ecuador terrestre v=2.π.R_T/T=463 m/s Por ello su energía cinética debe ser E_c=18.221.365 J.

El de Laponia, como recorre 10 m en 3 s lleva una velocidad respecto al suelo, suponiendo un movimiento uniforme de v=10/3 =3,33 m/s. Y para un observador exterior que vea girar a la Tierra, su velocidad es la suma de la del ciervo respecto al suelo y la del punto de la Tierra en el lugar donde el animal se encuentre. Velocidad que (ver figura) es consecuencia de que cualquier punto de un paralelo dado, visto desde el exterior, recorre un círculo de radio R_C.

Y en este caso como R_C=R_T*cosα=6.370*cos68=2.386 km y v=2.π.R_C/T=174 m/s. Luego se mueve a v=174+3,33=177,33 m/s. Su energía cinética E_c=3.772.234 J es menor que la del de Kenia.

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Problema 02. Los gatitos traviesos

La velocidad del gato solitario es la misma que la de la pareja toda vez que todos se mueven unidos entre sí por la cuerda que pasa por las poleas, sea v esa velocidad.

La energía del conjunto debe conservarse de forma que la energía potencial gravitatoria total E_pi en el momento inicial (no tienen e. cinética por estar parados) ha de ser igual a la potencial gravitatoria E_pf y cinética E_cf del conjunto cuando la pareja está a 1 m del suelo E_pi=E_pf+E_cf.

Llamemos E_pi1 a la potencial gravitatoria inicial del gatito solo, E_pi2 a la potencial gravitatoria inicial de la pareja, E_pf1 a la potencial gravitatoria final del solo y E_pf2 a la potencial gravitatoria final de la pareja y E_cf a la energía cinética del conjunto de gatitos. Por ello, cumpliendo lo anterior:

E_pi1+E_pi2=E_pf1 +E_pf2 +E_cf

Llamando m a la masa de cada gato, si empezamos a contar la energía potencial desde la posición de la base del gato solo, E_pi1=0 E_pi2=2*m*g*3.

Y sustituyendo 2*m*g*3=m*g*2+2*m*g*1+½*3*m*v² por lo que como m se elimina de la igualdad por ser la misma resulta que v = 3,6 m/s

La aproximación precisa es despreciar la masa de los soportes en que descansan los animales.

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Problema 03. El esfuerzo del animal de tiro

Lo primero que hay que comprobar son las fuerzas que tiene que hacer el animal. Observando el cronómetro se descubre que recorre los trozos de camino controlados de 10 m en 10 s lo que supone velocidad constante. Ello sugiere que una energía se gasta en vencer la fuerza paralela al suelo del rozamiento. Pero también se gasta otra en sostener un tanto el cuerpo ya que la dirección de la fuerza que hace no es horizontal y tiene una componente vertical que se dedica a eso. Pero de ambas pérdidas de energía solo se puede evaluar fácilmente la primera utilizando el “operador” trabajo mecánico. Y para el recorrido que deseaba que hiciera de 1.000 m esa energía será:

E_transferida=W=F*∆s*cosα. W=700*1.000*cos20º=657.784 J

Que es la calculada correctamente. Pero la energía perdida en tirar hacia arriba del cajón por la componente de la fuerza en dirección vertical, no es evaluable usando el “operador” anterior porque no hay desplazamiento en esa dirección. Pero como también la ha gastado se le ha acabado la provisión de energía y no puede seguir haciendo fuerzas antes de haber recorrido el kilómetro previsto.

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Problema 04. La constante elástica del muelle

La energía potencial elástica del muelle se transfiere a la bola como energía cinética, que luego se convierte en energía potencial gravitatoria. Como asciende desde 10 cm de altura hasta 70 cm la ganancia de esta es

∆E_pg= m*g*∆h = 0,294 J

La energía potencial elástica se calcula por la expresión E_pe=½*k_e*∆l² siendo ∆l el alargamiento del muelle que son 10 cm=0,1 m. De esos datos sale que k_e = 58,8 N/m

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Problema 05. La rueda perdida

Cuando la rueda se desprende del avión posee una energía potencial gravitatoria E_pi y una energía cinética E_ci por tener la velocidad que lleva el avión. Cuando llega al suelo sólo posee energía cinética E_cf si contamos la potencial gravitatoria desde el suelo. La energía final debe ser igual a la inicial (Principio de conservación de la energía).

Por ello E_cf=E_pi+E_ci.

La velocidad inicial de la rueda (es la del avión) v₀ tiene dirección horizontal y valor deducido de los datos de la animación de 111 m/s. Luego

½*m*v²=m*g*h+½*m*v₀² ½*v²=g*h+½*v₀² ½*v²=9,8*700+½*111²

La velocidad de la rueda al tocar el suelo es 161 m/s

que son 579 Km/h

Un planteamiento cinemático sería escribir como ecuaciones de la rueda

x=111*t e y=700–0,5*9,8*t²

De ahí sale el tiempo de caída 12 s y el valor de v_y al llegar al suelo 117 m/s. El valor de la velocidad total será la suma vectorial de v_x y v_y, que da 161 m/s también

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Problema 06. La vagoneta y la rampa

Al despreciar el rozamiento debe cumplirse que la energía potencial gravitatoria arriba E_pi se convierta en energía cinética E_cf en la base de la rampa. Como se conoce la longitud recorrida en el suelo horizontal y el tiempo empleado en ello, se puede calcular la velocidad con que llegó al borde de la rampa 25 m/s.

De E_pi=E_cf sale para la altura 31,9 m pero como el vagón ha recorrido en el descenso 100 m y teniendo en cuenta que h=L*senα 31,9=100*senα el ángulo vale unos 19º.

Puede hallarse igualmente por planteamientos dinámicos partiendo como antes de hallar primero la velocidad que tenía al acabar la rampa. A partir de ella y de las ecuaciones de movimiento se puede escribir s=½*a*∆t² y v=a*∆t. Eliminando ∆t y sustituyendo valores se halla la aceleración. Si el rozamiento es despreciable esa aceleración la provoca la componente del peso paralela al plano que guarda con este la relación F_d=F_p*senα siendo α el ángulo del plano. Luego m*a=m*g*senα de dónde α=19º igual que antes.

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Problema 07. El cubo volandero

Como puede observarse en la animación, si la velocidad es baja a medida que asciende el cubo va perdiendo agua. Pero si la velocidad es alta el agua no cae ni en la posición superior con el cubo invertido. Veamos la causa de ello.

Para cambiar la dirección del movimiento en la trayectoria por ser esta circular, lo que supone tener una aceleración normal, es preciso hacer una fuerza perpendicular a la velocidad F=m*a_n siendo a_n=v²/R. Sobre el cuerpo actúan en todo momento el peso y la fuerza hecha a través de la cuerda, que en el punto superior tienen igual dirección y sentido. La velocidad mínima en el punto más alto para no derramar el agua será la que corresponda a la mínima fuerza, que será el peso si la fuerza que hace la cuerda es nula en ese momento. Por ello

F_P=m*g=m*v²/R v²=g*R=9,8*1,5 v=3,84 m/s

Llamando F_s a la fuerza que hace la cuerda en el punto más alto y F_i la que hace en el más bajo y F_P a la fuerza peso se cumple, respectivamente, en esos puntos

F_s+F_P=m*v²_s/R y F_i-F_P=m*v²_i/R (3.7.1)

Por otra parte debe cumplirse el principio de conservación de la energía por lo que llamando E_ps a la energía potencial gravitatoria arriba y E_pi a la de abajo

E_ps+½*m*v²_s=E_pi+½*m*v²_i E_ps–E_pi=½*m*v²_i –½*m*v²_s

E_ps–E_pi=m*g*2*R m*g*2*R=½*m*v²_i –½*m*v²_s

Multiplicando todo por 2/R y utilizando la relaciones (3.7.1) resulta

4*m*g= m*v²_i/R -m*v²_s/R 4*F_P =F_i–F_P–(F_s+F_P)

F_i –F_s=6 F_P con independencia de cuál sea el radio del círculo.

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Problema 08. El el loro y el columpio

La máxima fuerza F_c que tiene que hacer la cuerda corresponde al instante en que el loro y el columpio pasan por la vertical. Teniendo en cuenta que el radio de la trayectoria es R=3-0,5=2,5 m la máxima velocidad a que puede pasar viene dada por la relación,

F_c.max=F_P+m*v²_s/R 80–3*9,8=3*v²/2,5 v=6,5 m/s

Su relación con la altura puede calcularse mediante un balance de energías. La energía potencial gravitatoria inicial E_p1 se va transformando parcialmente en energía cinética. Luego en cualquier punto de la trayectoria, si su energía potencial es E_p2, se debe cumplir que E_p1=E_p2+½*m*v²₂ Por ello, siendo h la altura con respecto al suelo desde la que se le puede abandonar sin peligro (sin energía cinética) y E_p1 su energía potencial en ese punto, E_p2 la energía potencial del punto más bajo de altura h_b=0,5 m y ½*m*v²₂ su energía cinética en él.

E_p1=E_p2+½*m*v²₂ m*g*h=m*g*0,5+½*m*6,5² g*h=g*0,5+½*6,5²

h_suelo=2,65 m

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Problema 09. El trampolín original

Para averiguar la altura basta hacer un balance de energías siendo E_pi la energía potencial gravitatoria inicial, E_pf la energía potencial gravitatoria cuando abandona el trampolín y E_c=½*m*v² su energía cinética es ese momento. Para hallar el valor de v ahí se plantean las ecuaciones del movimiento que serán, tomando un sistema con origen en el punto en el que abandona el trampolín y con el eje x paralelo al agua de la piscina:

x=v*(cos 50)*t e y=v*(sen 50)*t–½*g*t²

Cuando entre en el agua si consideramos un sistema cuya abscisa sea la superficie de esa agua, y=0 y x=10 m por lo que combinando las dos ecuaciones permite hallar v=9,98 m/s. De aquí el balance de energías indica que

m*g*h=m*g*4,5+½*m*9,98² h = 9,58 m

La máxima fuerza F_c que tiene que hacer el trampolín corresponde al instante en que el nadador pasa por el punto más bajo, de radio 3 m con la velocidad v_i. Por ello teniendo en cuenta que la máxima masa admisible vale 80 kg

F_c=F_P+m*v²_i/R= 80*9,8+80*v²_i/3 (3.9.1)

Un nuevo balance de energías nos da el valor de la velocidad en ese punto

m*g*9,58=m*g*1,0+ ½ *m*v²_i v_i=12,97 m/s

y sustituyendo en (3.9.1) F = 5.270 N

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Problema 10. Cayendo desde la cúpula

Para comenzar hay que hacer un razonamiento dinámico. Al descender por la cúpula esférica (Figura 1) el peso F_P se descompone en dos fuerzas FT tangente a la superficie y F_O normal a ella y en la dirección del radio R.

(3.10,0)

En todo momento

F_O=F_P*cosα=F_P*(h/R) (3.10, 1)

Esa fuerza F_O se emplea en dos cosas (Figura 2), una parte de ella F_S, en presionar al cuerpo contra la superficie esférica, que responde con la fuerza normal F_N por lo que F_S =F_N, y otra, F_A, en cambiar la dirección de la velocidad, o sea comunicar al cuerpo aceleración normal, de forma que :

F_A =m*v²/R. Luego:

F_O = F_S +F_A (3.10, 2)

A medida que el carrito desciende (3.10, 1) F_O disminuye, ya que aumenta el ángulo α y disminuye el coseno. Por ello, de (3.10,0) resulta que F_T aumenta, por lo que aumenta la aceleración tangencial y con ello la velocidad. Llegará un momento en que toda la F_O tenga que dedicarse a generar la aceleración normal y F_N valdrá cero. A partir de ese momento, como v crece y F_A no, tiene que aumentar el radio de la trayectoria y el carrito dejará de estar pegado a la superficie y describirá una trayectoria en el aire. Tal cosa ocurrirá en el momento (véase 3.10, 2) que se cumpla

F_O =F_S+F_A =0+F_A=F_A

y recordando (3.10, 1) F_P*(h)/R)=m*v²/R es decir que resulta:

v²=g*h

Pero por otra parte, al descender el carrito gana energía cinética a costa de perder energía potencial gravitatoria. En el punto más alto su energía potencial, dado que la altura es el radio R, vale E_pga=m*g*R y cuando esté a cualquier altura h su energía potencial valdrá E_pgh=m*g*h y su energía cinética E_ch=½*m*v² por lo que debe cumplirse m*g*R=m*g*h+½*m*v² y cambiando de miembro m*g*(R-h)=½*m*v²

Al abandonar la superficie se ha encontrado que v²=g*h por lo que sustituyendo v en el balance de energías sale m*g*(R-h)= ½*m*g*h) y asignando valores

h=1,67 m

Para contestar a la segunda pregunta observemos que en la ecuación anterior la masa se elimina y resulta que con independencia de su valor siempre se cumple que:

h=(2/3)*R para cualquier valor de R

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Problema 11. El camión y la cuesta

Se llama potencia P a la energía En transferida en la unidad de tiempo:

P=En∆/t

Si la transferencia se ha hecho realizando una fuerza y recorriendo un camino la energía puede evaluarse usando el operador trabajo. Y si el camino se recorre a velocidad constante, relacionando fuerza con velocidad. Por ello puede escribirse:

P=En/∆t=(F*∆s)/∆t=F*(∆s/∆t)=F*v

En este caso, cuando está ascendiendo, F es la fuerza que hay que hacer para ganar altura o sea para ganar energía potencial gravitatoria, por ello esa fuerza está relacionada con el peso por la expresión F=F_P*senα siendo α el ángulo que forma la cuesta con la horizontal del lugar. Ese ángulo está relacionado con la altura y el camino por la relación senα=h/L siendo h la elevación de ese camino cuando se asciende una altura h. Por ello la potencia puede venir expresada en función de esas variables por la expresión:

P=m*g*(h/L)*v

Suponiendo que por la parte llana el camión lleva velocidad constante, de los datos de la animación se concluye que como tarda 10 s en recorrer 100 m su velocidad es 10 m/s. Por ello sustituyendo valores resulta que

P=18.000*9,80*(7,2/50)*10=254.016 J/s=345 HP

En principio parece que sí es posible el ascenso, pero una reflexión más profunda indica lo contrario. La potencia calculada es la que precisa para subir esa altura, pero no solo se pierde energía en la ganancia de altura sino también en vencer las fuerzas de fricción con el suelo y la de resistencia del aire, además del calentamiento que sufre el motor. Por ello no será capaz de ascender manteniendo la velocidad si esa potencia fuera la real.

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Problema 12. El lanzador de disco

La energía perdida por el atleta ha sido transferida al disco como energía cinética. Algo que es posible calcular conociendo su velocidad y su masa, ya conocida. La velocidad hay que hallarla a partir del alcance, dato del que se dispone. Para averiguarla recordemos que las ecuaciones del movimiento parabólico son:

x=v₀*cosα*t e y=v₀*senα*t– ½*g*t²

y que las de las componentes de la velocidad serán

v_x=v₀*cosα*t y v_y=v₀*senα–g*t

El tiempo que ha estado subiendo t_s será el transcurrido hasta que deje de ascender, aunque siga moviéndose horizontalmente, es decir cuando v_y=0. Por ello se cumple 0=v₀*senα–g*t_s t_s=(v₀*senα)/g y como el tiempo de subir y bajar deben ser iguales el tiempo total t será t=2*t_s=2*(v₀*senα)/g Por ello el alcance máximo x_a debe ser:

x_a=v₀*cosα*t=v₀*cosα*2*(v₀*senα)/g)=(v₀²*2*(senα)*(cosα)/g. pero ya que 2*senα*cosα =sen2*α x_a=(v₀²*sen2*α)/g Como el mayor valor para una velocidad dada v₀ depende del valor del seno lo más que puede valer esa expresión es 1, por lo que el máximo valor x_m será:

x_m=v₀²/g y v₀²=x_m*g

En consecuencia la energía cinética máxima será:

E_c=½*m*v₀²=½*m*x_m*g

Sustituyendo valores resulta:

E_c=½*2*68*9,8=666 J

Al levantar un disco a una altura el atleta también pierde energía que se convierte en energía potencial gravitatoria. En este caso, para un disco, vale E_pgu

E_pgu=m*g*h=2*9,8*0,2=3,92 J

Por ello el número n_j de discos se calculará como

666=3,92*n_j n_j=169

Para resolver el problema es preciso realizar una aproximación fundamental. Hay que despreciar la resistencia del aire que se calentará a costa de frenar al disco en su movimiento. Por ello el número de ellos deberá ser algo superior al encontrado.

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