Problema
01. La energía del cérvido
La energía cinética se calculará por la
relación Ec=½*m*v2
El problema aparece si se considera sistema de referencia el suelo
terrestre o se analiza desde un punto del exterior de la Tierra en que se ve a esta
girar. En el primer caso posee más el ciervo de Laponia ya que el de Kenia está
parado y no tiene energía de esta clase. Pero las cosas cambian para el segundo sistema.
En él, el de Kenia lleva la velocidad de cualquier punto del ecuador
terrestre v=2.π.RT/T=463 m/s Por ello su energía
cinética debe ser Ec=18.221.365 J.
El de Laponia, como recorre 10 m en 3 s lleva una
velocidad respecto al suelo, suponiendo un movimiento uniforme de v=10/3 =3,33 m/s. Y para un observador
exterior que vea girar a la Tierra, su velocidad es la suma de la del ciervo
respecto al suelo y la del punto de la
Tierra en el lugar donde el animal se encuentre. Velocidad que (ver figura) es consecuencia de que cualquier punto de un paralelo dado, visto desde el
exterior, recorre un círculo de radio RC.
Y en este caso como RC=RT*cosα=6.370*cos68=2.386 km y v=2.π.RC/T=174 m/s. Luego se mueve a v=174+3,33=177,33 m/s.
Su energía cinética Ec=3.772.234 J
es menor
que la del de Kenia.
---------------------------------------------------------
Problema 02. Los gatitos traviesos
La velocidad del gato solitario es la misma que la de la pareja toda vez
que todos se mueven unidos entre sí por la cuerda que pasa por las poleas, sea v esa velocidad.
La energía del conjunto debe conservarse de forma que la energía potencial
gravitatoria total Epi en el
momento inicial (no tienen e. cinética por estar parados) ha de ser igual a la potencial
gravitatoria Epf y cinética Ecf del conjunto cuando la pareja está a 1
m del suelo Epi=Epf+Ecf.
Llamemos Epi1 a la potencial gravitatoria inicial del
gatito solo, Epi2 a la
potencial gravitatoria inicial de la pareja, Epf1 a la potencial gravitatoria final
del solo y Epf2 a la potencial
gravitatoria final de la pareja y Ecf
a la energía cinética del conjunto de gatitos. Por ello, cumpliendo lo anterior:
Epi1+Epi2=Epf1
+Epf2 +Ecf
Llamando m a la masa de cada
gato, si empezamos a contar la energía potencial desde la posición de la base
del gato solo, Epi1=0 Epi2=2*m*g*3.
Y sustituyendo 2*m*g*3=m*g*2+2*m*g*1+½*3*m*v2 por lo que como m se elimina de la igualdad por ser la misma resulta que v = 3,6 m/s
La aproximación precisa es despreciar la masa de los soportes en que
descansan los animales.
---------------------------------------------------------
Problema 03. El esfuerzo del animal de tiro
Lo primero que hay que comprobar son las fuerzas que tiene que hacer el animal.
Observando el cronómetro se descubre que recorre los trozos de camino
controlados de 10 m en 10 s lo que supone velocidad constante.
Ello sugiere que una energía se gasta en vencer la fuerza paralela al suelo del
rozamiento. Pero también se gasta otra en sostener un tanto el cuerpo ya que la
dirección de la fuerza que hace no es horizontal y tiene una componente
vertical que se dedica a eso. Pero de ambas pérdidas de energía solo se puede
evaluar fácilmente la primera utilizando
el “operador” trabajo mecánico. Y para
el recorrido que deseaba que hiciera de 1.000 m esa energía será:
Etransferida=W=F*∆s*cosα. W=700*1.000*cos20º=657.784 J
Que es la calculada correctamente. Pero la energía perdida en tirar hacia
arriba del cajón por la componente de la fuerza en dirección vertical, no es
evaluable usando el “operador” anterior porque no hay desplazamiento en esa
dirección. Pero como también la ha gastado se le ha acabado la provisión de
energía y no puede seguir haciendo fuerzas antes de haber recorrido el
kilómetro previsto.
---------------------------------------------------------
Problema 04. La constante elástica del muelle
La energía potencial elástica del muelle se transfiere a la bola como
energía cinética, que luego se convierte en energía potencial gravitatoria.
Como asciende desde 10 cm de altura
hasta 70 cm la ganancia de esta es
∆Epg= m*g*∆h = 0,294 J
La energía potencial elástica se calcula por la expresión Epe=½*ke*∆l2 siendo ∆l el alargamiento del muelle que son 10 cm=0,1 m. De esos datos sale que
ke = 58,8 N/m
---------------------------------------------------------
Problema 05. La rueda perdida
Cuando la rueda se desprende del avión posee una energía potencial
gravitatoria Epi y una energía cinética Eci por tener la velocidad que lleva el
avión. Cuando llega al suelo sólo posee
energía cinética Ecf si contamos
la potencial gravitatoria desde el suelo. La energía final debe
ser igual a la inicial (Principio de conservación de la energía).
Por ello
Ecf=Epi+Eci.
La velocidad inicial de la rueda (es la del avión) v0 tiene dirección horizontal y valor
deducido de los datos de la animación de 111
m/s. Luego
½*m*v2=m*g*h+½*m*v02 ½*v2=g*h+½*v02 ½*v2=9,8*700+½*1112
La velocidad de la rueda al tocar el suelo
es 161 m/s
que son 579 Km/h
Un planteamiento cinemático sería escribir como ecuaciones de la rueda
x=111*t
e y=700–0,5*9,8*t2
De ahí sale el tiempo de caída 12 s
y el valor de vy al llegar al suelo 117 m/s. El valor de la velocidad total será la suma
vectorial de vx
y vy, que da 161 m/s también
---------------------------------------------------------
Problema 06. La vagoneta y la rampa
Al despreciar el rozamiento debe cumplirse que la energía potencial
gravitatoria arriba Epi se convierta en energía cinética Ecf en la base de la rampa. Como se
conoce la longitud recorrida en el suelo horizontal y el tiempo empleado en
ello, se puede calcular la velocidad con que llegó al borde de la rampa 25 m/s.
De Epi=Ecf sale para la altura 31,9 m pero como el vagón ha
recorrido en el descenso 100 m y
teniendo en cuenta que h=L*senα 31,9=100*senα el ángulo vale unos 19º.
Puede hallarse igualmente por planteamientos dinámicos partiendo como antes
de hallar primero la velocidad que tenía al acabar la rampa. A partir de ella y
de las ecuaciones de movimiento se puede escribir s=½*a*∆t2 y v=a*∆t. Eliminando ∆t y sustituyendo valores se halla la aceleración. Si el rozamiento es despreciable esa
aceleración la provoca la componente del peso paralela al plano que guarda con
este la relación Fd=Fp*senα siendo α el ángulo del plano. Luego m*a=m*g*senα de dónde α=19º
igual que antes.
---------------------------------------------------------
Problema 07. El cubo volandero
Como puede observarse en la animación, si la velocidad es baja a medida que
asciende el cubo va perdiendo agua. Pero si la velocidad es alta el agua no cae
ni en la posición superior con el cubo invertido. Veamos la causa de ello.
Para cambiar la dirección del
movimiento en la trayectoria por ser esta circular, lo que supone tener una
aceleración normal, es preciso hacer una fuerza perpendicular a la
velocidad F=m*an siendo
an=v2/R.
Sobre el cuerpo actúan en todo momento el peso y la fuerza hecha a través de la
cuerda, que en el punto superior tienen igual dirección y sentido. La velocidad
mínima en el punto más alto para no derramar el agua será la que corresponda a
la mínima fuerza, que será el peso si la fuerza que hace la cuerda es nula en
ese momento. Por ello
FP=m*g=m*v2/R v2=g*R=9,8*1,5 v=3,84 m/s
Llamando Fs a la fuerza que hace la cuerda en el punto
más alto y Fi la que hace en el más bajo y FP
a la fuerza peso se cumple, respectivamente, en esos puntos
Fs+FP=m*v2s/R y
Fi-FP=m*v2i/R (3.7.1)
Por otra parte debe cumplirse el principio de conservación de la energía
por lo que llamando Eps a la
energía potencial gravitatoria arriba y Epi
a la de abajo
Eps+½*m*v2s=Epi+½*m*v2i Eps–Epi=½*m*v2i –½*m*v2s
Eps–Epi=m*g*2*R m*g*2*R=½*m*v2i –½*m*v2s
Multiplicando todo por 2/R y utilizando la relaciones (3.7.1) resulta
4*m*g= m*v2i/R
-m*v2s/R
4*FP =Fi–FP–(Fs+FP)
Fi –Fs=6
FP con independencia de cuál
sea el radio del círculo.
---------------------------------------------------------
Problema 08. El el loro y el columpio
La máxima fuerza Fc que tiene
que hacer la cuerda corresponde al instante en que el loro y el columpio pasan
por la vertical. Teniendo en cuenta que el radio de la trayectoria es R=3-0,5=2,5 m la máxima velocidad a que
puede pasar viene dada por la relación,
Fc.max=FP+m*v2s/R 80–3*9,8=3*v2/2,5 v=6,5 m/s
Su relación con la altura puede calcularse mediante un balance de energías.
La energía potencial gravitatoria inicial Ep1 se va
transformando parcialmente en energía cinética. Luego en cualquier punto de la
trayectoria, si su energía potencial es Ep2, se debe cumplir que Ep1=Ep2+½*m*v22
Por ello, siendo h la
altura con respecto al suelo desde la que se le puede abandonar sin peligro
(sin energía cinética) y Ep1 su energía potencial en ese
punto, Ep2 la energía
potencial del punto más bajo de altura hb=0,5 m
y ½*m*v22 su energía cinética en él.
Ep1=Ep2+½*m*v22 m*g*h=m*g*0,5+½*m*6,52 g*h=g*0,5+½*6,52
hsuelo=2,65 m
---------------------------------------------------------
Problema 09. El trampolín original
Para averiguar la altura basta hacer un balance de energías siendo Epi la energía potencial gravitatoria inicial, Epf la energía potencial gravitatoria cuando
abandona el trampolín y Ec=½*m*v2
su energía cinética es ese
momento. Para hallar el valor de v
ahí se plantean las ecuaciones del movimiento que serán, tomando un sistema con
origen en el punto en el que abandona el trampolín y con el eje x paralelo al agua de la piscina:
x=v*(cos 50)*t e
y=v*(sen 50)*t–½*g*t2
Cuando entre en el agua si
consideramos un sistema cuya abscisa sea la superficie de esa agua, y=0
y x=10 m por lo que combinando las dos
ecuaciones permite hallar v=9,98 m/s. De aquí el balance de energías indica que
m*g*h=m*g*4,5+½*m*9,982 h = 9,58 m
La máxima fuerza Fc que tiene
que hacer el trampolín corresponde al instante en que el nadador pasa por el
punto más bajo, de radio 3 m con la
velocidad vi. Por ello teniendo en cuenta que la máxima masa
admisible vale 80 kg
Fc=FP+m*v2i/R=
80*9,8+80*v2i/3 (3.9.1)
Un nuevo balance de energías nos da el valor de la velocidad en ese punto
m*g*9,58=m*g*1,0+ ½ *m*v2i vi=12,97 m/s
y sustituyendo en (3.9.1) F = 5.270 N
---------------------------------------------------------
Problema 10. Cayendo
desde la cúpula
Para comenzar hay que hacer un razonamiento dinámico.
Al descender por la cúpula esférica (Figura 1) el peso FP se
descompone en dos fuerzas FT tangente a la superficie y FO normal a ella y en la dirección del radio R.
(3.10,0)
En todo momento
FO=FP*cosα=FP*(h/R) (3.10, 1)
Esa fuerza FO se emplea en dos cosas (Figura 2), una parte de ella FS,
en presionar al cuerpo contra la superficie esférica, que responde con la fuerza
normal FN por lo que FS =FN, y otra, FA, en cambiar la dirección de la velocidad, o sea comunicar al cuerpo
aceleración normal, de forma que :
FA =m*v2/R. Luego:
FO = FS +FA (3.10, 2)
A medida que el carrito desciende (3.10, 1) FO disminuye, ya que aumenta el ángulo
α y disminuye el coseno. Por ello, de (3.10,0) resulta que FT
aumenta, por lo que aumenta la aceleración tangencial y con ello la
velocidad. Llegará un momento en que toda la FO tenga que dedicarse a generar la aceleración normal y FN valdrá cero. A partir de ese momento, como v crece y FA no, tiene que aumentar
el radio de la trayectoria y el carrito
dejará de estar pegado a la superficie y describirá una trayectoria en
el aire. Tal cosa ocurrirá en el momento (véase 3.10, 2) que se cumpla
FO =FS+FA =0+FA=FA
y recordando (3.10, 1) FP*(h)/R)=m*v2/R
es decir que
resulta:
v2=g*h
Pero por otra parte, al descender el
carrito gana energía cinética a costa de perder energía potencial gravitatoria.
En el punto más alto su energía potencial, dado que la altura es el radio R,
vale Epga=m*g*R y cuando esté a cualquier altura h su
energía potencial valdrá Epgh=m*g*h
y su energía cinética Ech=½*m*v2
por lo que debe cumplirse
m*g*R=m*g*h+½*m*v2
y cambiando de miembro m*g*(R-h)=½*m*v2
Al abandonar la superficie se ha encontrado que v2=g*h por lo que
sustituyendo v en el balance de energías sale m*g*(R-h)= ½*m*g*h) y asignando
valores
h=1,67 m
Para contestar a la segunda pregunta observemos que en la ecuación anterior
la masa se elimina y resulta que con independencia de su valor siempre se
cumple que:
h=(2/3)*R para cualquier valor de
R
---------------------------------------------------------
Problema 11. El camión y la cuesta
Se llama potencia P a la energía En transferida en la unidad de tiempo:
P=En∆/t
Si la transferencia se ha hecho realizando una fuerza y recorriendo un
camino la energía puede evaluarse usando el operador trabajo. Y si el camino se
recorre a velocidad constante, relacionando fuerza con velocidad. Por
ello puede escribirse:
P=En/∆t=(F*∆s)/∆t=F*(∆s/∆t)=F*v
En este caso, cuando está ascendiendo, F es la fuerza que hay que hacer para
ganar altura o sea para ganar energía potencial gravitatoria, por ello esa
fuerza está relacionada con el peso por la expresión F=FP*senα siendo α el ángulo que forma la
cuesta con la horizontal del lugar. Ese ángulo está relacionado con la altura y
el camino por la relación senα=h/L
siendo h la elevación de ese camino cuando se asciende una altura h.
Por ello la potencia puede venir expresada en función de esas variables por la
expresión:
P=m*g*(h/L)*v
Suponiendo que por la parte llana el camión lleva velocidad constante, de
los datos de la animación se concluye que como tarda 10 s en recorrer 100
m su velocidad es 10 m/s. Por ello sustituyendo valores
resulta que
P=18.000*9,80*(7,2/50)*10=254.016 J/s=345
HP
En principio parece que sí es posible el ascenso, pero una reflexión más
profunda indica lo contrario. La potencia calculada es la que precisa para
subir esa altura, pero no solo se pierde energía en la ganancia de altura sino
también en vencer las fuerzas de fricción con el suelo y la de resistencia del
aire, además del calentamiento que sufre el motor. Por ello no será capaz de ascender manteniendo la velocidad si esa
potencia fuera la real.
---------------------------------------------------------
Problema 12. El lanzador de disco
La energía perdida por el atleta ha sido transferida al disco como
energía cinética. Algo que es posible calcular conociendo su velocidad y su
masa, ya conocida. La velocidad hay que hallarla a partir del alcance, dato del
que se dispone. Para averiguarla recordemos que las ecuaciones del movimiento
parabólico son:
x=v0*cosα*t e
y=v0*senα*t– ½*g*t2
y que las de las componentes de la
velocidad serán
vx=v0*cosα*t y vy=v0*senα–g*t
El tiempo que ha estado subiendo ts será el transcurrido hasta que deje de
ascender, aunque siga moviéndose
horizontalmente, es decir cuando vy=0.
Por ello se cumple 0=v0*senα–g*ts ts=(v0*senα)/g y
como el tiempo de subir y bajar deben ser iguales el tiempo total t será
t=2*ts=2*(v0*senα)/g Por ello el
alcance máximo xa
debe ser:
xa=v0*cosα*t=v0*cosα*2*(v0*senα)/g)=(v02*2*(senα)*(cosα)/g. pero ya que 2*senα*cosα =sen2*α xa=(v02*sen2*α)/g Como el mayor valor para una
velocidad dada v0 depende
del valor del seno lo más que puede
valer esa expresión es 1, por lo que el máximo valor xm será:
xm=v02/g
y v02=xm*g
En consecuencia la energía cinética máxima será:
Ec=½*m*v02=½*m*xm*g
Sustituyendo valores resulta:
Ec=½*2*68*9,8=666 J
Al levantar un disco a una altura el atleta también pierde energía que se
convierte en energía potencial gravitatoria. En este caso, para un disco,
vale Epgu
Epgu=m*g*h=2*9,8*0,2=3,92 J
Por ello el número nj de
discos se calculará como
666=3,92*nj nj=169
Para resolver el problema es preciso realizar una aproximación
fundamental. Hay que despreciar la resistencia del aire que se
calentará a costa de frenar al disco en su movimiento. Por ello el número de
ellos deberá ser algo superior al encontrado.